نقطة متقابلة

في علم الرياضيات, يشير مصطلح النقطة المتقابلة إلى أية نقطة موجودة على سطح الكرة إلى النقطة المقابلة لمثيلاتها في الجهة الأخرى من الكرة المارة عبر القطر - بحيث إذا رُسِّم خط من هذه النقطة إلى النقطة المقابلة لها يمر الخط عبر مركز الكرة ويتكوّن قطر حقيقي.

ويُطَبَّق هذا المصطلح على النقاط المقابلة الموجودة على سطح الدائرة أو أي n-كرة.

في بعض الأحيان، يُطلق على النقطة المتقابلة لفظ النقيض, وهو قياس خاطئ على اللفظ الدخيل اليوناني antipodes, والذي يعني في الأصل «عكس القدمين».

النظرية

في علم الرياضيات, يتوسع مفهوم النقاط المتقابلة ليشمل الكرات ذات أي بعد: فيُطلق على نقطتين موجودتين على سطح الكرة بأنهما نقطتان متقاطرتان إذا كانت إحداهما مواجهة للأخرى عبر مركز الكرة; فعلى سبيل المثال، فلنعتبر أن النقطة التي تتوسط الكرة هي المركز، بالتالي تشير النقاط المتقابلة إلى النقاط التي تمر عبرها المتجهات ذات الصلة v وv-. على سطح الدائرة, يُطلق على مثل هذه النقاط كذلك النقاط المتواجدة على الجهة المقابلة من القطر. وبعبارة أخرى، كل خط يمر عبر المركز يقطع الكرة إلى نقطتين، تمثل كل نقطة من النقطتين شعاع يخرج من المركز، وبهذا يُطلق على هاتين النقطتين نقطتان متقابلتان.

تعتبر مبرهنة بورسوك - أولام إحدى نتائج الطوبولوجيا الجبرية التي تتناول مثل هذه الأزواج من النقاط. وتنص هذه المبرهنة على أنه في أي دالة مستمرة من الكرة Sⁿ إلى الكرة Rⁿ تُرْسَم بعض الأزواج من النقاط المتقابلة في الكرة Sⁿ إلى نفس موقع النقطة في الكرة Rⁿ. وهنا يشير, Sⁿ إلى كرة ذات بعد n-موجودة في الفضاء ذي البعد (n+1)-(وبالتالي يُرْمَز إلى الكرة «العادية» بـ S² ويُرْمَز إلى الدائرة بـ S¹).

وترسل الخريطة المتقابلة A : Sⁿ → Sⁿ, التي تُحَدَّدُ بواسطة A(x) = -x, كل نقطة موجودة على الكرة إلى النقطة المتقابلة التي تمثلها. تُطْلَق صفة مثلية التوضع على الخريطة المحايدة إذا كانت n رقمًا فرديًا، وكانت الدرجة تساوي (-1)ⁿ⁺¹.

إذا أراد شخص ما دراسة النقاط المتقابلة على النحو المحدد، فيلزم أن يتعرض كذلك للفضاء الإسقاطي (انظر أيضًا فضاء هيلبرت الإسقاطي، حيث ستجد هذه الفكرة مطبقة في ميكانيكا الكم).

زوج من النقاط المتقابلة على مضلع محدب

يرمز زوج النقاط المتقابلة لمضلع محدب إلى زوج يتكون من نقطتين يمر من خلالهما خطان متوازيان لا نهائيان ويعمل هذان الخطان كممسات لكلتا النقطتين المتقابلتين دون قطع أي خط آخر للمضلع المحدب.

راجع أيضا

متناظر جغرافيا

المراجع

تحوي هذه المقالة معلومات مترجمة من الطبعة الحادية عشرة لدائرة المعارف البريطانية لسنة 1911 وهي الآن ضمن الملكية العامة.